Średnia arytmetyczna – Podstawy statystyki

11.1. Miary centralne

Wartości (miary) centralne to miary statystyczne, które opisują centralne położenie rozkładu badanej cechy, czyli wskazują wartość typową lub reprezentatywną dla zbioru obserwacji.

Najważniejsze miary tendencji centralnej to:

Średnia arytmetyczna – iloraz sumy wszystkich wartości obserwacji i ich liczby.
Mediana – wartość środkowa uporządkowanego zbioru obserwacji; dzieli zbiorowość na dwie równe liczebnie części.
Dominanta (modalna) – wartość, która w zbiorze obserwacji występuje najczęściej.

11.2. Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna jest jedną z najważniejszych miar tendencji centralnej w statystyce. Informuje, jaka wartość przypadałaby na każdą obserwację, gdyby łączną wartość wszystkich obserwacji podzielić po równo.

Dla N obserwacji x₁_, x₂_, …, x_{N :}

$\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{N}}{N}=\frac{\sum_{i=1}^{N}x_{i}}{N}$

Przykład:

Liczba uczniów w trzech klasach wynosi: 20, 24, 28.

$\bar{x}=\frac{20+24+28}{3}=\frac{72}{3}=24$

Średnia arytmetyczna wynosi 24 uczniów.

Interpretacja

Można powiedzieć, że 24 uczniów przypadałoby na każdą klasę, gdyby łączną liczbę uczniów rozdzielić między klasy po równo. Słowo „gdyby” jest kluczowe, bo w rzeczywistości tylko jedna klasa ma 24 uczniów a pozostałe dwie mają inną liczbę uczniów.

Podstawowym błędem interpretacyjnym jest przyjęcie wartości średniej jako wielkości charakterystycznej dla każdej jednostki badanej.

Własności średniej arytmetycznej

Jest wyznaczana na podstawie wszystkich obserwacji.
Jest wrażliwa na wartości skrajne.
Jej wartość może być inna niż każda z obserwowanych wartości.
Suma odchyleń wszystkich obserwacji od średniej arytmetycznej wynosi zero:

$\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\bar{x})=0$

Jest szczególnie użyteczna dla cech mierzonych na skali ilorazowej i przedziałowej.

W statystyce opisowej średnia arytmetyczna jest więc przede wszystkim miarą określającą położenie centralne rozkładu wartości cechy.

11.3. Średnia arytmetyczna w szeregu rozdzielczym przedziałowym

W szeregu rozdzielczym przedziałowym wartości cechy są pogrupowane w przedziały klasowe. Ponieważ nie znamy dokładnych wartości poszczególnych obserwacji, do obliczeń przyjmujemy środki przedziałów.

Przykład:

Wiek (lata)	Liczba osób $n i$	Środek przedziału x^o	$x 0 *n i$
20–29	4	24,5	98
30–39	7	34,5	241,5
40–49	10	44,5	445
50–59	6	54,5	327
60–69	3	64,5	193,5
Razem	30		1305

Krok 1. Obliczamy środki przedziałów

Dla przedziału 20–29:

$x_{1}^{o}=\frac{20+29}{2}=24,5$

Analogicznie obliczamy środki pozostałych przedziałów.

Krok 2. Mnożymy środek przedziału przez liczebność

Dla pierwszego przedziału:

$24,5*4=98$

Robimy to dla wszystkich przedziałów.

Krok 3. Stosujemy wzór

$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{k}x_{i}^{o}*n_{i}}{\sum_{i=1}^{k}n_{i}}$

Podstawiamy:

$\bar{x}=\frac{1305}{30}=43,5$

Średni wiek wynosi więc 43,5 roku.

11.4. Średnia geometryczna

Średnia geometryczna jest miarą tendencji centralnej, stosowaną przede wszystkim wtedy, gdy analizowane wartości łączą się ze sobą multiplikatywnie — np. przyrosty, stopy wzrostu, indeksy dynamiki czy oprocentowanie kapitału.

Dla $n$ dodatnich obserwacji x₁, $x 2 \dots , x n$ średnią geometryczną definiuje wzór:

$\bar{x}_{G}=\sqrt[n]{x_{1}*x_{2}*...*x_{n}}$

czyli pierwiastek $n$ -tego stopnia z iloczynu wszystkich obserwacji.

Przykład

Załóżmy, że wartość sprzedaży przedsiębiorstwa w kolejnych dwóch latach wzrosła odpowiednio o:

$10%$ , czyli indeks $1,10$ ,
$20%$ , czyli indeks $1,20$ .

Średni indeks wzrostu wynosi:

$\bar{x}_{G}=\sqrt[2]{1,10*1,20}=1,149$

Oznacza to, że średnie tempo wzrostu wynosi około 14,9% rocznie.

Dlaczego nie średnia arytmetyczna?

Gdybyśmy zastosowali średnią arytmetyczną:

$\bar{x}=\frac{1,10+1,20}{2}=1,15$

otrzymalibyśmy 15%, co jest bardzo bliskie, ale nie jest dokładnym średnim tempem wzrostu w sensie multiplikatywnym.

Średnia geometryczna jest właściwa, ponieważ kolejne zmiany mnożą się, a nie dodają:

$1,10*1,20=1,32$

Najważniejsze zastosowania

Średnią geometryczną wykorzystuje się m.in. do:

obliczania średniego tempa wzrostu,
analizy indeksów dynamiki,
obliczania średniego rocznego tempa wzrostu (CAGR),
analizy zmian wartości kapitału przy procentach składanych,
analizy wielkości, których zmiany mają charakter multiplikatywny.

Ćwiczenia:

Liczba godzin przepracowanych przez 8 pracowników w ciągu jednego tygodnia wynosiła:

$38, 40, 42, 39, 41, 40, 42, 37, 38, 39$
- Oblicz średnią arytmetyczną liczby przepracowanych godzin.
- Zinterpretuj otrzymany wynik.
Wyniki badania dotyczącego czasu dojazdu 20 pracowników do pracy, wyrażonego w minutach, przedstawiają się następująco:

$12, 18, 25, 31, 14, 22, 37, 42, 18, 28,12, 28,$ $34, 16, 24, 45, 27, 30, 35, 21, 38, 31, 17, 17, 22, 41$

a) Oblicz średni czas dojazdu na podstawie szeregu szczegółowego.

b) Następnie pogrupuj dane w następujące przedziały: <10-20), <20-30), <30-40), <40-50).

c) Na podstawie utworzonego szeregu rozdzielczego przedziałowego:
1. wyznacz środki przedziałów,
2. oblicz średnią arytmetyczną,
3. porównaj ją ze średnią obliczoną w punkcie a).
d) Wyjaśnij, dlaczego obie średnie mogą się różnić.
Wartość sprzedaży przedsiębiorstwa w kolejnych czterech latach zmieniała się następująco:
- w pierwszym roku wzrosła o 10%,
- w drugim roku wzrosła o 20%,
- w trzecim roku spadła o 5%,
- w czwartym roku wzrosła o 15%.

1. Zamień procentowe zmiany na indeksy dynamiki.
2. Oblicz średni roczny indeks dynamiki za pomocą średniej geometrycznej.
3. Wyraź wynik jako średnie roczne tempo wzrostu/spadku sprzedaży.

Pytania kontrolne:

Jak oblicza się średnią arytmetyczną w szeregach rozdzielczych przedziałowych?
Czy średnia arytmetyczna w szeregach rozdzielczych przedziałowych jest tak samo precyzyjna jak w szeregach szczegółowych?
Jak się oblicza i kiedy stosuje średnią geometryczną?

Interpretacja

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi