Opisując zjawiska zazwyczaj ograniczamy się do podania wartości średniej arytmetycznej. Wiemy jednak, że nie oznacza przecież charakterystyki każdej jednostki badanej. Mało tego, istnieje możliwość, że żadna z nich nie charakteryzuje się taką wartością. Jeśli Adam waży 60 kg a Marek 80 kg, to średnia ich waga wynosi 70 kg, choć żaden z nich tyle nie waży. Do opisu należy więc dodać charakterystykę zmienności każdej z jednostek badanych względem średniej badanej. W tym celu można wykorzystać m.in.:
- wartość odchylenia przeciętnego,
- wartość odchylenia standardowego,
- miary typowe,
- współczynnik zmienności,
- analizę symetryczności zjawiska.
Odchylenie przeciętne określa, o ile wszystkie jednostki danej zbiorowości różnią się średnio ze względu na wartość zmiennej od średniej arytmetycznej tej zmiennej. Jest średnią arytmetyczną bezwzględnych wartości odchyleń wartości cechy od jej średniej arytmetycznej.
Dla szeregu szczegółowego stosuje się następujący wzór:
W szeregu rozdzielczym punktowym:
A w szeregu rozdzielczym przedziełowym:
Odchylenie standardowe określa, o ile wszystkie jednostki danej zbiorowości różnią się średnio od średniej arytmetycznej badanej zmiennej. Spełnia ono analogiczną funkcję jak odchylenie przeciętne, jednak wykorzystuje się je przede wszystkim w statystyce matematycznej, testach statystycznych, regresji, analizie wariancji, przedziałach ufności itp. (trochę wspomnimy o tych zagadnieniach w ostatniej lekcji). Odchylenie przeciętne stosuje się do prostego opisu zjawiska.
W szeregu szczegółowym odchylenie standardowe oblicza się wg wzoru:
W szeregu rozdzielczym punktowym wzór ten przybierze postać:
a w szeregu rozdzielczym przedziałowym:
W razie analizowania grupy stanowiącej jedynie część populacji lub ogólnie małą liczbę obserwacji (poniżej ok. 30-32) należy zastosować tzw. poprawkę Bessela czyli zmniejszyć wartość mianownika z N do N-1.
A zatem w szeregu szczegółowym uzyskamy wzór:
Poprawkę należy uwzględnić również we wzorach dla innych szeregów.
Wartość odchylenia standardowego wykorzystać można do obliczenia typowej wartości badanej cechy. Jest to tzw. zasada trzech sigm (sigmą σ oznacza się odchylenie standardowe próby badanej, literą s odchylenie populacji).
Z rozkładu normalnego wynika, że 68% obserwacji przyjmuje wartość badanej cechy w przedziale:
I odpowiednio:
95% w przedziale
99,7% w przedziale:
Ćwiczenia:
- d
- f
- d
Pytania kontrolne:
- d
- s
- e